Ступенем вершини називається число ребер графа, яким належить ця вершина. Позначати ступені вершин А, В, Збудемо відповідно так: d(А), d(В), d(С) тощо.
тобто сума ступенів вершин будь-якого графа дорівнює подвоєному числу його ребер. Крім того, з формули випливає, що в будь-якому графі число вершин непарний ступеня парно. Дане твердження (і сама формула) відомі як лема про рукостискання.
ступенем вершини називають кількість ребер, котрим вона є кінцевої (у своїй петлі вважають двічі). Вершина називається ізольованою, якщо вона не є кінцем для жодного ребра. Вершина називається висячою, якщо з неї виходить рівно одне ребро. Граф без кратних ребер та петель називається звичайним.
Сума ступенів вершин графа дорівнює подвоєному числу його ребер.